2.1 导数与微分

一、导数与微分的基本概念

1. 函数在一点$x_{0}$处的导数定义

设函数$ y=f(x) $在点$x{0}$的某邻域内有定义，当自变量$x$在$x{x}$处取得增量$\bigtriangleup x$（点$x{0}+\bigtriangleup x$仍然在该邻域内），相应地因变量取得增量$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})$. 如果极限$$ \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x}$$存在，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处可导并称此极限值为函数$f(x)$在$x{0}$处的导数（也成微商），记作$f’(x{0})$，或$y’|{x=x{0}}, \frac{dy}{dx}|{x=x{0}}, \frac{df(x)}{dx}|{x=x{0}}$. 如果上面的极限不存在，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处不可导。

$y =f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导

2. 单侧导数

右导数：$$ f’{+}(x) = \lim{x \to x^{+}{0}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} = \lim{x \to x^{+}{0}} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x} $ 左导数：$ f’{-}(x) = \lim{x \to x^{-}{0}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} = \lim{x \to x^{-}{0}} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x} $$

3. 可导的充要条件

$f(x)$在点$x{0}$处可导 $\iff f(x)在点x{0}$处左、右导数皆存在且相等。

4. 区间可导

如果函数$y=f(x)$在开区间 $(a,b)$ 内的每一点都可导，则称$f(x)$在$(a,b)$内可导。 如果$y=f(x)$在开区间内可导，在区间左端点$a$处右导数存在，在区间右端点$b$处左导数存在，则称$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导。

5. 高阶导数定义

若函数$y=f(x)$在导数$y’=f’(x)$在点$x{0}$处仍是可导的，则把$y’=f’(x)$在点$x{0}$处的导数成为$y=f(x)$在点$x{0}$处的二阶导数，记作$y’’|{x=x{0}} $或$f’’(X{0})$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}|_{x=x_{0}}}$，也称$f(x)$在点$x_{0}$处二阶可导。类似的，$y=f(x)$的$n-1$阶导数的导数，成为$y=f(x)$的 $n$ 阶导数，记为$y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$，这时也称函数 $y=f(x)$ $n$阶可导。

6. 导数的几何意义与物理意义

函数$y=f(x)$在点$x0$处的导数$f’(x{0})$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x{0},f(x{0}))$处的切线的斜率。从而函数$y=f(x)$在点$(x{0},f(x{0}))$处的切线方程为： $$y=f(x{0}) = f’(x{0})(x-x{0})$$ 法线方程为： $$ y-f(x0) = -\frac{1}{f’(x{0})}(x-x{0}) (f’(x_0) \ne 0) $$

注：导数概念是函数变化率概念的精确描述。任何变化率的极限问题都可以用导数来研究，比如物体作直线运动时，路程$S$与时间$t$的函数关系为$S=f(t)$，如果$f’(t{0})$存在，则$f’(t{0})$表示物体在时刻$t_{0}$时的瞬时速度。

7. 微分的定义

设函数$y=f(x)$在点$x{0}$的某邻域内有定义（点$x0$ 以及 $x_{0}+\bigtriangleup x$都在该领域内），如果函数增量$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x) - f(x{0})$ 可表示为$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$（$A\bigtriangleup x $部分被称为**线性主部**），其中$A$是不依赖于$\bigtriangleup x$的常数，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处可微，而$A\bigtriangleup x$称为函数$y=f(x)$在$x{0}$处相应于自变量增量$\bigtriangleup x$的微分，记作$dy$ 即 $dy=A\bigtriangleup x$.

证明：$$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) \iff \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} $ 可微 \Rightarrow$ 可导 已知$$ \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$ 从而$$\lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x} = A$$

可导 $\Rightarrow$ 可微 已知 $\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A$由极限与无穷小关系知，存在一个$\alpha (x)$，使得$\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A+\alpha (x) \Rightarrow \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + \bigtriangleup x \alpha (x) $$$又\because \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x \alpha(x)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \alpha(x) = 0$$$$故：\bigtriangleup x \bullet \alpha(x) = o(\bigtriangleup x)$$$$从而：\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$$$即y=f(x)在x=x_{0}点处可微$$

注：一元函数可微与可导的关系 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可微 $\iff f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导且 $dy|_{x=x_{0}} = A(x_{0})\bigtriangleup x = f’(x_{0})dx$。 若$y=f(x)$ ，则 $dy=f’(x)dx$ 。导数 $f’(x)=\frac{dy}{dx}$ 也称为微商，就是微分之商的含义。易知 $dx=\bigtriangleup x$

8. 微分的几何意义

如果说$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处相应于自变量增量 $\bigtriangleup x$ 的纵坐标 $f(x_{0})$ 的增量，那么微分$dy|{x=x{0}}$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $M_{0}(x_{0},f(x_{0}))$处切线的纵坐标相应的增量。

9. 一阶微分的形式不变性

若$y=f(u)$，则$dy=f’(u)du$，这里$u$不论是自变量还是中间变量微分形式都不变，即函数的微分等于函数对变量求导乘以该变量的微分。

题型

题型一 ：判断 $f’(X_{0})$ 是否存在（可导）

若极限组成为一点处可导的定义式

1. 必须有该点处的函数值
2. 左导 = 右导

题型二：求 $f’(x_{0})$

法一：定义法 法二：用导函数

• 直接带入
• 转定义
• 导函数极限存在定理：指可导函数与该点处函数值关系 补：导函数极限存在定理 $$ y=f(x) 在 x{0}处连续 $ $ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’(x{0}) \exists 且 f’(x{0})=\lim{x \to x{0}} f’(x) $ $ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’{+}(x{0}) \exists 且 f’{+}(x{0})=\lim{x \to x{0}} f’(x) $ $ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’{-}(x{0}) \exists 且 f’{-}(x{0})=\lim{x \to x_{0}} f’(x) $$

题型三：已知可导，求相关极限（“凑”可导定义）

注：$ f - f $型，或推广为$ f - f + f - f $型 已知$f’(x{0}) \exists$，则： $$ \lim{h \to 0} \frac{ f(x{0} + ah) - f(x{0} + bh) }{h} = \lim{h \to 0} \frac {(x{0}+ah) - (x{0}+bh)}{h} \bullet f’(x0) = (a-b)f’(x_{0})$$

题型四：会求切线（法线）

注：若切点未知，先求切点，再求切线。

注：证$(e^{x})’ = e^{x}$ $$ f’(x) = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} $ 证： $ (e^{x})’ = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x+\bigtriangleup x}-e^{x}}{\bigtriangleup x} $ $= \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(e^{\bigtriangleup x}-1)}{\bigtriangleup x}$$$$= \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}$$$$= e^{x}$$

二、导数与微分的计算

1. 常数与基本初等函数的求导公式

注： $$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$

2. 函数的和差积商的求导、微分法则

注：后“,”改前“d”，求导变微分。

3. 复合函数的导数（链式法则）

设$y=f(u)$，$u= \varphi (x)$，如果$\varphi (x)$在$x$处可导，$f(u)$在对应点$u$处可导，则复合函数$y=f[ \varphi (x)]$在$x$处可导，且有$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = f’[\varphi (x)]\varphi’ (x)$

注：${f[\varphi (x)]}’ \not= f’[\varphi (x)]$ 注：复合函数求导法则：函数先对中间变量求导，中间变量对自变量求导。

4. 隐函数求导

设$y=y(x)$ 由方程 $F(x,y)=0$ 确定，求 $y’$ 的方法如下： 对$F(x,y)=0$ 两边关于自变量 $x$ 求导，注意此时 $y$ 是 $x$ 的函数，故应该当作是中间变量用复合函数求导法则计算，最后解出 $y’$ 的表达式（表达式中允许出现 $y$）。

方法总结

1. 直接法
2. 公式法
3. 一阶微分形式不变性

5. 反函数求导

$y=f(x)$ 的反函数为 $x=g(y)$ ，两者皆可导，且 $f’(x) \not= 0$ 则 $g’(y)= \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{f’[g(y)]},(f’(x) \not= 0)$.

注：反函数的一阶和二阶导公式为$x’= \frac{1}{y’}$ ，$x’’= \frac{-y’’}{y’^{2}}x’= \frac{-y’’}{y’^{3}}$.

考点：

1. 一阶导公式会用
2. 二阶导公式会证

证二阶导公式 $$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})$$ $$=\frac{d}{dy}(\frac{1}{\frac{dy}{dx}})$$ $$\frac{d}{dy}(\frac{1}{y’}) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{y’})\frac{dx}{dy}$$ $$=(-1) \bullet (y’)^{-2} \bullet y’’ \bullet \frac{1}{y’}$$ $$=-\frac{y’’}{y’^{3}}$$

注：微分是表达式 $$\left. dy \right| {x=x{0}} = y’(x_{0})dx$$ $$dy=y’(x)dx$$